Pembahasan Problem Set 2 Matematika Dasar dan Teori Matriks

Pada bagian ini kami akan membahas secara singkat materi tentang matriks, untuk download pembahasan silakan di link berikut ini :





Dasar Matriks :
A. Operasi Matriks
1. Operasi Jumlah dan Kurang Matriks


2. Operasi Kali Matriks


B. Sifat Determinan
1.
2.
3.  dengan n = ordonya.

C. Invers Matriks 2x2

Maka didapat inversnya :


D. Aplikasi Matriks
A.B = C  maka:

E. Catatan :
1. Untuk perkalian matriks tidak berlaku komutatif
A.B tidak sama dengan B.A
2. Matriks dikuadratkan :


Soal PS 2 No 14
Soal diselesaikan dengan menggunakan sifat determinan.

Soal PS 2 No. 15
Soal diselesaikan dengan menggunakan aturan operasi matriks.

Soal PS 1 No. 16
Soal ini bisa diselesaikan dengan sifat determinan atau operasi matriks dan yang paling mudah yaitu dengan menggunakan sifat determinan.

Read More

Cara Mudah Memahami Program Linear

Berikut merupakan langkah memahami program linear : 

1. Membuat Persamaan Garis Lurus.
a. Persamaan Umum Garis Lurus :

Contoh :

Jadi : y - 1 = 2(x - 1) = 2x - 2 sehingga didapat : y = 2x - 1 atau -2x + y = -1

b. Persamaan Garis Lurus ax + by = ab.
Contoh :

Maka persamaan garis lurusnya : 5x + 3y = 15

2. Membuat Gambar Garis Lurus.
Lazimnya dalam program linear persamaan garis dibuat dalam 2 model, diantaranya :
a. Bentuk y = mx + c
Contoh :
y = 2x - 1
Untuk model ini ambil sebarang nilai x.
Misal : x = 1, maka y = 2.1 - 1 = 1 didapat titik (1,1).
Misal : x = 2, maka y = 2.2 - 1 = 3 didapat titik (2,3)

b. Bentuk ax + by = c
Contoh : 5x + 3y = 15
Untuk x = 0 maka y = 2 dan didapat titik (0,5)
Untuk y = 0 maka x = 3 dan didapat titik (3,0)

3. Menentukan Wilayah
Wilayah ditentukan oleh koefisien x,sebagai berikut:
Jika koefisien x(+) dan tandanya ">=" maka wilayahnya dikanan, dan jika tandanya "<=" maka wilayahnya di sebelah kiri, sedangkan jika koefisien x(-) maka berlaku sebaliknya.

Contoh :
a. x + 2y <= 4
Koefisien x(+) dan tandanya "<=" maka wilayah sebelah kiri

b. y <= 2x + 4
Pindahkan 2x ke ruas kiri dan didapat: -2x + y <= 4
Koefisien x(-) dan tandanya "<=" maka wilayah sebelah kanan (Kebalikan dari 3.a).

5. Menentukan Titik Maksimum dan Minimum.
Menentukan titik maksimum dan minimum dibiasakan menggunakan garis selidik, dan ingat garis selidik diperoleh dari persamaan obyektifnya, caranya :
a. Lihat koefisien variabel x dan y nya.
b. Taruh koefisien x pada y begitu juga sebaliknya.
c. Hubungkan antara titik-titik perbandingan x dan y.
d. Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum dengan aturan :
Jika koefisien x(+) maka nilai maksimum di titik yang ditemui garis selidik paling kanan, minimum kiri.
Jika koefisien x(-)  maka nilai maksimum di titik yang ditemui garis selidik paling kiri, minimum kanan.
Contoh :
Fungsi Obyektifnya : F(x,y) = 2x + 3y.

x	y
3	2
6	4
dst	dst

Contoh Soal :
Diberikan sistem pertidaksamaan :
2y >= x; y < = x; 2y + x <= 20; x + y >= 9
Berapa Nilai maksimum dari F(x,y) = 2x - y?

Jawab :
a. Pindah Ruas Variabel
Untuk memudahkan mencari wilayah dan meminimalkan hafalan maka yang dipindah ruas hanya variabel y dan buat agar nilai koefisien x positif, sehingga di dapat:
x - 2y <= 0; x - y >= 0; x + 2y <= 20; x + y >= 9

b. Buat Gambar Garis

Contoh: Ambil garis x - 2y <= 0
Untuk x = 0 maka y = 0, didapat titik (0,0)
Untuk x = 2 maka y = 1, didapat titik (2,1)

Hasil Gambar di samping.





c. Mencari Wilayah.
Contoh : Ambil garis x - 2y <= 0 karena x(+) dan tanda ">=" maka wilayah sebelah kanan.

d. Membuat Garis Selidik
Fungsi Obyektif : F(x,y) = 2x - y

x	y
-1	2
-1.-1 = 1	2.-1 = -2
dst	dst

Hasil Lengkap gambar di bawah :

Karena fungsi obyektifnya mempunya koefisien x(+), maka nilai maksimum adalah titik yang dilewati garis selidik paling kanan -> Titik yang terbentuk antara garis x + 2y = 20 dan x - 2y = 0, tinggal eliminasi keduanya dan di dapat: y = 5 dan x = 10, di dapat titik (10,5).
Jadi nilai maksimumnya : F(10,5) = 2.10 - 5 = 15

Read More

Analisa Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan Umum Fungsi Kuadrat :


Ada 4 hal yang harus diperhatikan :
1. Nilai a
Nilai a digunakan untuk menentukan apakah kurva membuka ke atas atau kebawah.
Jika a>0 maka kurva membuka ke atas :

Jika a<0 kurva membuka ke bawah : gambar

2. Nilai c
Masukkan nilai x=0; maka f(0) = c;
Kesimpulan: Nilai c digunakan untuk menentukan titik potong terhadap sumbu y.

3. Nilai b
Ingat rumus titip puncak :

Kesimpulan :
(i) jika a,b>0 atau a,b<0, maka titik puncak x di sebelah kiri sumbu y.
(ii) Jika a>0 dan b<0 atau a<0 dan b>0, maka titik puncak x disebelah kanan sumbu y.

4. Nilai D = diskriminan
Diskriminan digunakan untuk menentukan :
(i) D > 0 artinya memotong sumbu x di dua titik.
(ii) D = 0 artinya menyinggung sumbu x di satu titik.
(iii) D<0 artinya tidak memotong sumbu x.

Soal Latihan :

Jawaban :
a > 0 ; Karena membuka ke atas.
c < 0 ; Karena titik potong sumbu y di negatif
b > 0 ; Karena titik puncak x di negatif, maka a dan b nilainya harus sama.

Read More